辛普森悖论
在数据分析过程中，我们通常根据数据本身产生结论，然而我们需要格外小心，以免掉入统计分析的陷阱，得到与事实相悖的结论。辛普森悖论阐述了一种将数据综合考虑而产生的谬误。
加州大学伯克利分校的性别偏差
有人对加州大学伯克利分校的研究生录取情况做调查。研究期间，加州大学伯克利分校共得到$8,442$男性学生与$4,321$名女性学生的入学申请，但仅有$44\%$的男性学生与$35\%$的女性学生得到批准。从数据上看，男生的录取率高于女生，因此我们容易得到结论：加州大学伯克利分校具有性别歧视，学校更倾向招收男学生。
实际上，学校的招生工作由各个专业独立进行。如果大学的招生确实存在性别歧视，我们单独地观察每个专业，我们就可以找出“性别歧视”的“罪魁祸首”。然而，我们在逐个审视每个专业录取情况时，奇怪的事情出现了：在对每个专业独立考察时，并没有发现男女的性别偏差，即男生与女生的录取比率基本一致！到底是哪里出现了问题呢？
下表显示了伯克利分校其中6个较大专业的录取情况。
| Men | Women | |||
| Major | Number of applications | Percent admitted | Number of applications | Percent admitted |
| A | 825 | 62% | 108 | 82% |
| B | 560 | 63% | 25 | 68% |
| C | 325 | 37% | 593 | 34% |
| D | 417 | 33% | 375 | 35% |
| E | 191 | 28% | 393 | 24% |
| F | 373 | 6% | 341 | 7% |
这种现象似乎与之前得到的结论产生了矛盾，但仔细观察男女申请各专业的人数与录取比例，我们或许能够发现一些端倪。不难发现，大多男生申请的是录取率高的AB专业，而女生倾向于申请录取率低的CDEF专业，所以总体来看，男生显得更容易被录取。在此案例中，专业的选择为隐含变量，学生的性别决定了专业的选择的分布不同，而专业的选择决定了录取比率，录取比率与性别却没有直接关系。
小明求医
小明同学生病了，想去看医生，但他希望自己得到更好的治疗，因此他收集了两家医院的数据，A医院就诊的康复率为$90\%$，而B医院的康复率为$70\%$。那么小明是否应该就诊A医院呢？
细心的你一定发现，如果单纯根据总体康复率来决定医院，很容易掉入数据的陷阱。A医院很可能治疗大部分患者为普通的感冒，而就诊于B医院的患者大部分为疑难杂症，因此很容易得到A医院具有较高的康复率，所以单就康复率而言并不能得出A医院较好的结论，因此小明需要搜集更多的信息来判断了。
造成这种错误的根本原因在于，相加的个体本身就存在不同，就像3个苹果加4个香蕉是否大于2个苹果加5个香蕉，这个问题本身就没有意义。在加州大学伯克利分校的性别偏差例子中，各个学院的入学难度不一，因此不应以相同的权重进行相加。在小明的例子中，他将所有的患病案例放在一起考虑，而忽略了病症不同所带来的治愈难度的不同。
这些案例告诉我们，简单地分析总体情况看似正确，但在许多情况下并没有实际意义，盲目地轻信数据甚至会产生与实际情况相反的结论。因此在作出结论之前，我们需要细心地发现所研究变量的潜在影响因素，在科研、生活与决策中避免产生这类错误。
参考文献： Freedman D, Pisani R, Purves R.Statistics, 4th Edition.[M]. 2007.
